X Berbagi Jempol, Knows always shares

Anak-Anak Matematika

Mau tau apa saja matematika itu, Knows cuma tau kalo matematika itu ngitung doang, tapi tahukah, matematika itu mempunyai banyak cabang, oke mari belajar bersama (*_*)

1)        Teori Himpunan
Merupakan bidang matematika yg mengkaji himpunan yakni kumpulan (koleksi) dari objek-objek. Dasar dari kajian himpunan adalah konsep keanggotaan. Kajian himpunan berawal dari pemilahan obyek-obyek fisik yg mempunyai kesamaan sifat . Walaupun obyek tersebut dapat berupa obyek apapun, namun dalam matematika objek tersebut berupa obyek yang relevan dengan matematika, yaitu bilangan (untuk selanjutnya vektor, fungsi). Di dalam matematika, teori himpunan merupakan dasar dari semua bidang kajian, terutama untuk analisis matematis, topologi, aljabar abstrak, dan matematika diskret. Pada umumnya dalam teori himpunan, digunakan 2(dua) pendekatan yaitu(i) Pendekatan intuitif (pendekatan tradisionil), seperti yang biasa dipelajari, dan(ii) Pendekatan aksiomatik (pendekatan modern).Pendekatan modern ini berawal dari kajian aksioma dan sistem aksioma, serta paradoks (oleh Cantor dan Dedekind). Dalam kerangka aksiomatik ini, diketengahkan (oleh Zermelo- Fraenkel) aksioma yang dikenal sebagai aksioma pemilihan (axiom of choice) Pendekatan aksiomatik dari teori himpunan dengan pendekatan logika matematis, teori pembuktian, teori model, dan teori rekursi, dikenal sebagai fondasi matematika. Pencarian jawab kebenaran dalam kerangka fondasi matematika tersebut melatar belakangi filsafat matematika. Terdapat himpunan dengan pendekatan lain yang bukan merupakan bahasan dalam teori himpunan. Pendekatan penentuan keanggotannya tidak bersifat deterministik seperti dalam kajian himpunan yang telah disebutkan di atas. Dalam hal ini keanggotaannya ditentukan berdasarkan konsep possibility. Himpunan ini dikenal dengan himpunan kabur (fuzzy set).

2)        Logika matematis
Logika matematis (pendekatan khusus dari logika filosofis) merupakan kajian matematis darilogika dan penerapannya pada bidang lain (terutama sains komputer). Seperti kita ketahuibahwa tujuan utama dari digunakannya logika adalah memberikan aturan-aturan yang dapatmenentukan keabsahan suatu argumentasi atau penalaran. Kajian awal logika matematika inimenggunakan logika dasar ya/tidak dalam suatu pernyataan matematis (atau kaitannya denganpernyataan lain). Kajian awal ini menggunakan pendekatan teori himpunan. Dengan pendekatanini menunjukkan bahwa hampir semua teorema matematika dapat dijelaskan secara gamblang,meskipun terdapat terdapat beberapa teorema masih belum dapat dibuktikan.Dalam kajian lanjut logika matematis, dilakukan pendekatan dalam kerangka fondasimatematika (menggunakan sistem formal). Dalam hal ini tidak secara langsung membuktikanteorema dalam matematika, tetapi memperoleh teorema sebagai alternatif jalan kearahpembuktian.
Logika matematis berkembang sejalan dengan perkembangan fondasi matematika, dalamkerangka geometri, aritmatika, dan analisis. Kajian fondasi matematika tersebut semakin jelasperkembangannya dalam kajian pembuktian konsistensi teori-teori fundamental oleh Hilbert.Hasil kajian Godel (dan lain-lain) baru memberikan penjelasan secara parsialDengan berkembangnya kajian lanjut di atas, dewasa ini terdapat beberapa subbidanglogika matematika, diantaranya teori himpunan, teori model, teori rekursif, teori pembuktian, danmatematika konstruktif.
3)        Teori Bilangan
Merupakan cabang matematika yang secara umum membahas bilangan dan sifat-sifatnya(khususnya integer), berikut masalah dan klas masalah yang muncul dalam pembahasan. Bidangmatematika ini sebelumnya dikenal dengan aritmatika. Akan tetapi dengan meluasnya kajianyang dilakukan (tidak terbatas dengan hanya kalkulasi dan sifatnya), selanjutnya bidang inidikenal dengan teori bilangan.Teori bilangan terbagi dalam beberapa subbidang, sesuai dengan metode yang digunakandan jenis kajian yang diteliti, yaitu
(1) Teori bilangan elementer
Yang menjadi obyek kajian adalah bilangan integer dengan pendekatan dasarnya adalahkonsep keterbagian (divisibility). Dengan konsep dasar tsb dikaji algoritma Euclid, pembagibersama terbesar (greatest common divisor), faktorisasi integer ke dalam bilangan-bilanganprima, hubungan kekongruenan, persamaan Diophantine, bilangan sempurna (perfect number).Disamping itu dibahas pula barisan integer, faktorial, dan bilangan Fibonacci. Beberapa teoremayang penting dalam kajian teori bilangan antara lain teorema Euler, Teorema Fermat, teoremasisa Cina (Chinesse remainder theorem). Beberapa fungsi dan sifatnya yang muncul dalam kajianini antara lain fungsi Mobius, fungsi Euler-j.Beberapa teorema dalam teori bilangan elementer dapat dijelaskan dengan menggunakanpengertian-pengertian dalam teori bilangan elementer walaupun dengan kajian yang mendalam.Akan tetapi terdapat teorema yang memerlukan pendekatan lain di luar teori bilangan elementeruntuk menyelesaikannya, seperti(i ) Konjektur Golbach, berhubungan dengan penyajian bilangan genap sebagai jumlahdua bilangan prima,(ii) Konjektur Catalan (sekarang dikenal dengan teorema Mihailescu), yang berhubungandengan pangkat integer-integer berturutan(iii) Teorema terakhir Fermat, berhubungan dengan ketakmungkinan untuk memperolehinteger taknol x, y, z yang memenuhi xn + yn = zn, untuk n>2.(Teorema ini dinyatakan sekitar tahun 1637 tak terbuktikan sampai tahun 1994)
(2) Teori bilangan analitik
Digunakan untuk masalah dalam teori bilangan elementer yang tidak dapat (atau sulit)dipecahkan menggunakan pendekatan teori bilangan elementer (seperti yang telah disebutkan diatas). Teori bilangan analitik ini menggunakan sarana kalkulus dan analisis kompleks untukmenangani pemecahan masalah yang berhubungan dengan integer. Beberapa diantaranya adalahteorema bilangan prima dan hubungannya dengan hipotesis Riemann, masalah Waring (penyajianinteger sebagai jumlahan dari pangkat 2, 3, … dari integer). Di sini dipelajari juga pembuktiantetapan matematis transedental seperti e dan p (tetapi tetapan tersebut tidak menjadi obyekbilangan sebagai dasar pembahasan)
(3) Aljabar bilangan
Dikaji perluasan konsep bilangan dengan bilangan aljabar (pendekatan aljabar). Beberapapembahasan yang dilakukan diantaranya persamaan polinomial dan akarnya. Pembasasan lanjutdi sini diantaranya teori Galois, grup homologi, representasi grup, fungsi-L. Beberapa pertanyaanteoritis yang dipecahkan berhubungan dengan kajian modulo p, untuk bilangan prima p (i.e grupberhingga)
(4) Geometri bilangan
Berhubungan dengan konsep dasar geometris untuk memecahkan masalah dalam teoribilangan (seperti lattice). Pembahasan dimulai dengan teorema Minskowski yang berhubungandengan titik-titik lattice dalam himpunan konveks, yang akan membawa ke pembuktian dasarkeberhinggaan dari klas bilangan dan teorema Dirichlets (dua teorema fundamental dalam aljabarteori bilangan).
(5) Teori bilangan kombinatorial
Berhubungan dengan masalah teoritis yang melibatkan konsep kombinatorial dalampenurunan penyelesaiannya. Beberapa topik khusus di sini diantaranya covering system, masalahjumlah nol, barisan aritmatik dalam himpunan integer. Dalam menurunkan penyelesaian biasanyadigunakan pendekatan aljabar.
(6) Komputasi teori bilangan
Dipelajari algoritma-algoritma dan tekniknya yang relevan dalam teori bilangan.Misalnya algoritma cepat pengujian prima dan faktorisasi integer. Teknik dan algoritma inipenting penerapannya dalam bidang Kriptografi.
4)        Aljabar
Merupakan cabang matematika yang berhubungan dengan kajian kuantitas, hubungan,dan struktur yang terbentuk. Pada awalnya, kajian dasar dilakukan dengan penyajian simbolikkuantitas serta operasi-operasinya, meliputi persamaan, persamaan linear, persamaan kuadrat.Kajian ini dikenal sekarang dengan aljabar elementer.
Secara umum, kajian aljabar dapat diklasifikasikan sebagai:
·  Aljabar elementer
·  Aljabar Linear
·  Aljabar Absttrak
Disamping itu, terdapat juga beberapa bidang lain yang dapat digolongkan sebagai aljabarjuga (menggunakan pendekatan aljabar), seperti aljabar teori bilangan, aljabar kombinatorik,geometri aljabar, dan sebagainya
4.1 Aljabar elementer
Merupakan bentuk perampakan (generalisasi) dari aritmatika. Dalam aritmatika hanyadipelajari bilangan, operasi bilangan (seperti +, -, x, : ). Di dalam aljabar, bilangan disajikandengan simbol (seperti x, y, z), yang disebut dengan peubah (variable). Dengan menggunakansimbol-simbol, termasuk hubungan antar beberapa simbol maupun bilangan (=, < , >), dilakukaneksplorasi sifat-sifat matematisnya .Beberapa konsep dasar dalam aljabar linear antara lain ekspresi (termasuk juga ekspresibentuk polinomial), persamaan dan pertaksamaan, persamaan lienar dan sistem persamaan linear.Aljabar elementer ini biasanya dipelajari di sekolah menengah, dan sering dianggap merupakanbagian dari prekalkulus.
4.2 Aljabar linear
Merupakan cabang matematika yang berhubungan dengan kajian vektor, ruang vektor(juga disebut ruang linear), pemetaan linear (disebut juga transformasi linear), dan sistempersamaan linear (di dalamnya muncul pengertian matriks). Ruang vektor merupakan salah satutopik utama dalam matematika modern. Penyajian konkrit aljabar linear ini merupakan bagiandalam geometrik analitik (secara lebih umum, dalam teori operator). Secara lebih luas, aljabarlinear digunakan dalam aljabar abstrak dan analisis fungsional.
4.3 Aljabar abstrak
Bidang matematika yang mengkaji struktur aljabar seperti grup, gelanggang (ring),lapangan (fields), modul, ruang vektor. Kajian dimulai dengan suatu himpunan takhampa yangdilengkapi dengan satu komposisi biner (struktur aljabar).Kadang-kadang bidang kajian ini disebut dengan aljabar (saja) sebagai kependekanaljabar abstrak, kadang disebut juga dengan struktur aljabar. Tetapi orang lebih senangmenyebutnya dengan aljabar abstrak untuk membedakannya dengan aljabar elementer.Aljabar abstrak ini banyak digunakan dalam kajian lanjut bidang matematika (teoribilangan aljabar, topologi aljabar, geometri aljabar). Demikian juga dalam fisika teoritis, sepertialjabar Lie. Kajian struktur aljabar dengan pendekatan homomorfisma akan merupakan bidangkajian khusus yang disebut dengan kategori. Teori kategori ini biasanya digunakan dalampembandingan berbagai struktur aljabar.
5)        Trigonometri (atau Goneometri)
Merupakan cabang matematika yang mengkaji bangun segitiga, khususnya pada bidangdatar yang salah satu sudutnya adalah 90 derajat. Yang menjadi dasar dalam kajiannya adalahhubungan antara sudut-sudut dan sisi-sisinya. Hubungan tersebut dinyatakan sebagai fungsifungsitrigonometri.Trigonometri ini banyak diterapkan baik dalam matematika murni maupun terapan(khususnya dalam sains dan teknologi), seperti probabilitas, statistika, fisika, kimia, biologi,kimia, farmasi, seismologi, meteorologi, oseanologi, geodesi, kartografi, rekayasa teknik(elektro, mesin, sipil, arsitek).Oleh karena sangat luas bidang penggunaannya, pada awalnya trigonometri dipelajaripada sekolah la njutan ataupun sebagai salah satu bagian dari prekalkulus.Salah satu cabang trigonometri yaitu kajian trigonometri ruang (khususnya bola), disebutdengan segitiga bola (spherical trigonometry). Bidang ini banyak digunakan dalam astronomi dannavigasi.
6)        Geometri
Merupakan cabang matematika yang mengkaji ukuran, bentuk permukaan (shape),bentuk bangun, dan posisinya dalam ruang observasi. Ini sesuai dengan penggunaan awalgeometri (penyelidikan bumi dan ukurannya), bidang ini merupakan sains tertua, yang padaawalnya mengkaji ukuran panjang, luas, dan volume dari bangun-bangun tertentu). Termasuk didalamnya bidang astronomi yang mengkaji letak dan peredaran planet-planet dalam jagad raya.Awal pengembangan secara aksiomatik dilakukan oleh Euclid yang dikenal dengangeometri Euclid (Euclidean Geometry). Dengan diperkenalkannya konsep koordinat (dikenalsebagai sistem kordinat Kartesius) oleh Rene Descartes dan secara bersamaan denganpengembangan konsep aljabar, merupakan awal perkembangan bidang geometri. Sejak saat itubangun-bangun geometri (seperti kurva, garis, bidang datar dan ruang) dapat dieksplorasi secaraanalitis. Kajian analitis geometri ini merupakan salah bagian kajian dalam kalkulus.Dengan pengayaan kajian mengenai struktur obyek geometri oleh Euler dan Gauss, akanmembawa kajian geometri ke arah kajian topologi dan diferensial geometri.Berawal dengan pengenalan konsep transformasi menjadikan terjadinya kajian geometri yangdisebut dengan geometri non-Euclid (non Euclidean geometry). Hal ini dianggap sebagai awalpengembangan geometri modern. Penggunaan secara luas geometri ini dalam fisika menjadikanberkembangnya konsep baru yang disebut dengan geometri Riemann (Riemannian geometry).Pendekatan menggunakan geometri Riemann ini dilakukan dalam kajian relativitas.Disamping jenis pendekatan geometri di atas, dikenal pula geometri fraktal, geometrialjabar dan sebagainya.Pendekatan geometri Euclid, terutama pada ruang dimensi dua (bidang datar) dan ruangdimensi tiga (ruang nyata), biasanya dipelajari pada sekolah lanjutan atau menjadi salah topikpada prekalkulus.
7)        Topologi
Merupakan cabang matematika yang merupakan pengembangan dari geometri. Sesuaidengan namanya, topologi, kajian awal bidang ini adalah dengan mempertim-bangkan konsep‘tempat’ dalam struktur lokal maupun globalnya (konsep ruang topologi).Awal kajian topologi dilakukan oleh Euler (sejalan dengan berkembangnya teori graf)dan konsep topologinya sendiri diperkenalkan beberapa abad kemudian oleh B.Listing. Kajiantopologi ini dikembangkan dengan menggunakan konsep teori himpunan dengan memperhatikanhimpunan titik-titik dan keluarga himpunan-himpunan tersebut. Istilah topologi ini digunakansebagai nama bidang kajiannya atau juga sebagai nama himpunan dengan sifat-sifat tertentu yangdigunakan dalam ruang topologinya. Dengan topologi dibangun konsep (melalui definisi) danteorema, salah satu konsep penting yang dikaji adalah pemetaan (fungsi) yang bersifathomeomorfis. Secara mudahnya fungsi tersebut dapat dianggap dapat me’rentang’kan (stretch)suatu ruang (atau bangun dalam ruang) tanpa harus menjadikan ruang (atau bangun ruang)tersebut menjadi sobek. Beberapa bidang bagian dari kajian topologi antara lain point-set topology (antara lainmenyelidiki konsep kekompakan, keterhubungan, dan keterhitungan), topologi aljabar (antara lainmenyelidiki konsep homotopi dan homologi), dan topologi geometri (antara lain menyelidikikonsep manifold)
8)        Analisis matematis
Dalam matematika disebut dengan analisis (saja). Merupakan kajian secara taat azas(rigorous) dari kalkulus. Dalam hal ini dilakukan analisis rinci dari besaran peubah maupunfungsi di dalamnya berdasarkan pendefinisian pengertian besaran kecil e dan D. Denganpendefinisian tersebut dikaji limit (limit barisan, limit fungsi), teori diferensiasi, integrasi, derettakhingga, dan fungsi analitik. Teori-teori yang dipelajari di dalamnya dalam kerangka bilanganreal, bilangan kompleks, dan fungsi real, fungsi kompleks. Disamping itu secara lanjut dikaji puladalam kerangka ruang obyek matematis (ruang topologi) yang mempertimbangkan ‘jarak’nya(ruang metrik)Dengan berkembangnya jangkauan topik dalam analisis, kajian analisis seringkali dibagike dalam beberapa kajian khusus, meliputi(i) Analisis real, merupakan kajian diferesial dan integral dari fungsi real, termasuk didalamnya kajian barisan serta limit, deretnya, dan ukuran.(ii) Analisis fungsional, merupakan kajian fungsi dalam ruang fungsi menyangkut didalamnya konsep ruang Banach dan ruang Hilbert(iii) Analisis harmonik, kajian yang berhubungan dengan deret Fourier dan abstraksinya(iv) Analisis kompleks, seprti analisis real tetapi dikaji dikaji fungsi pada bidangkompleks ke bidang kompleks yang dbersifat diferensiabel(v) Geometri diferensial dan topologi, yaitu penerapan kalkulus ke dalam ruang ruangabstrak matematis yang struktur lebih spesifik(vi)Analisis numerik, kajian yang berhubungan dengan algoritma numerik untukmenghampiri (aproksimasi) fungsi kontinu dengan menggunakan fungsi diskret(diskretisasi)Disamping kajian analisis seperti yang telah disebutkan di atas, masih terdapat pulabeberapa pendekatan analisis lain.
9)        Teori probabilitas
Merupakan cabang matematika yang berhubungan dengan analisis fenomena acak.Obyek utama dalam kajian adalah peubah acak, kejadian acak, dan proses stokastik. Dua obyekpenting dalam kajian ini adalah hukum bilangan besar (law of large number) dan teorema limitpusat (central limit theorem).Pada awalnya yang dipertimbangkan adalah kejadian diskret dengan metode yangmenggunakan konsep kombinatorial. Dasar matematisnya diberikan oleh Pascal dan Fermat yangdi dalamnya menggunakan kajian peluang dari munculnya suatu kejadian. Selanjutnya,pendekatan analitisnya baru dapat dilakukan dengan memperluas ke kejadian kontinu. Hal inibaru dapat dilakukan setelah diperkenalkan sistem aksiomatik oleh Kolmogorov. Pengembangananalitis teori probabilitas dapat berlanjut dengan menggunakan teori ukuran (measure theory).Hal ini merupakan awal pengembangan modern dari teori probabilitas.Teori probabilitas merupakan konsep matematis fundamental dalam kajian statistika.Sebagai fondasi matematis, teori probabilitas diperlukan dalam berbagai aktivitas yangmelibatkan analisis kuantitatif dari data yang berjumlah besar.Metode–metode probabilitas (dalam sistem kompleks) digunakan dalam mekanikastatistis. Hal ini merupakan pendekatan dalam fisika teoritis dalam penyelidikan fenomena fisiskhususnya dalan kajian secara atomik. Kajian khusus dalam fisika teoritis tersebut disebut denganmekanika kuantum.
10)    Statistika
Merupakan sains matematis dengan di dalamnya menggunakan pertimbangan utamanyaadalah data, meliputi analisis dan interpretasi dengan pembahasan dan penggunaan metode(disebut metode statistika).Untuk alasan praktis, biasanya observasi dilakukan terhadap sejumlah data (sebagaisampel) yang diharapkan selanjutnya dapat menggambarkan populasi fenomena yang diobservasi.Kajian metode statistis tersebut dapat diklasifikasikan sebagai(i) Statistika deskriptif, digunakan untuk menjelaskan gambaran tentang kumpulan data.Dengan statitsika deskriptif tersebut, digambarkan secara numerik (angka-angka) ataudiagram dengan menggunakan rata-rata (mean) dan simpangan bakunya (standarddeviation)(ii) Statistika inferensi, digunakan untuk menjelaskan gambaran tentang inferensi prosesatau populasi yang diobservasi. Ini dilakukan setelah pola data dapat dimodelkandengan mempertimbangkan keacakannya dalam observasi.Dengan statistika inferensi tersebut dilakukan pemodelan pola dari data, keacakan datadan penggambaran inferensi dalam populasinya. Inferensi ini dapat berupa jawabanya/tidak (uji hipotesa), estimasi karakteristik numerik (estimasi), gambaranketerhubungan (korelasi), pemodelan hubungan (regresi), dan termasuk teknikpemodelan lain meliputi analisis variansi (anova), runtun waktu (time series), dandata mining.Kedua klas tersebut di atas dianggap sebagai statistika terapan.Dengan mempertimbangkan sifat keempirikan statistika dan penggunaannya, statistikadipandang sebagai cabang dari matematika terapan. Akan tetapi dengan perkembangan penerapanstatistika, sementara orang menganggap bahwa statistika merupakan bidang ilmu sendiri.Terdapat disiplin lain yg disebut dengan statistika matematis yang mempelajari aspekteoritis (matematis) dari statistika.Fondasi teoritis dari statistika merupakan teori probabilitas, yang berawal dari kajianpeluang munculnya kejadian, yg dilakukan oleh Pascal dan Fermat (lihat probabilitas).Sedangkan metode awal dalam statistika (metode least square) diperkenalkan oleh Gauss.Dengan penggunaan komputer, dimungkinkan untuk mengolah sejumlah besar data dengan cepat.Hal ini menjadikan berkembangnya kajian statistika yang dikenal dengan komputasi statistika.Dalam sehari-hari sering dicampur adukan antara statistika dengan statistik. Misalnyastatistik kelahiran dan kematian, yang menyatakan banyaknya kelahiran dan kematian di suatudaerah dan pada selang waktu tertentu. Demikian pula statistik kriminalitas, statistik kemiskinan,dan sebagainya.
11)    Matematika diskret
Dalam bidang ini dilakukan kajian struktur diskret secara matematis, dalam arti tidakmempertimbangkan kekontinuan. Kadang disebut juga dengan matematika berhingga. Obyekdasar yang dipelajari di dalamnya meliputi himpunan terhitung (countable sets) seperti integer,graf berhingga, dan bahasa formal. Matematika diskrit menjadi populer sejalan denganberkembangkan sains komputer.Beberapa topik yang dipelajari diantaranya logika (kajian penalaran), teori himpunan(kajian kumpulan elemen) termasuk di dalamnya fungsi dan relasi, poset (partially order set) danlattice, teori bilangan (termasuk di dalamnya pencacahan ), kombinatorik (meliputi teori disain,kombinatorik enumeratif, teori graf), algoritma serta teknik dan kompleksitasnya, serta teoriinformasi. Dengan topik lanjut meliputi teori kompleksitas dan komputabilitas (berhubungandengan keterbatasan teoritis dari algoritma), serta teori pembuktian.
12)     Matematika Terapan
Merupakan cabang matematika yang berhubungan dengan penerapan matematika padabidang matematika sendiri (probabilitas, teori persamaan diferensial, statistika, analisis numerik)maupun bidang ilmu pengetahuan lain.Sejalan dengan perkembangan matematika yang berawal dari fisika, pada awalnya yangdimaksudkan dengan matematika terapan merupakan kajian matematis dalam fisika (fisikaberbasis Newton). Pada awalnya adalah mekanika klasik dan mekanika fluida. Sejalan denganperkembangan masalah fisika, perkembangan selanjutnya meliputikajian aproksimasi (di dalamnya termasuk metode asimptotis, metode variasional), danoptimisasi.Pada awalnya memang terdapat pembedaan antara matematika terapan (appliedmathematics) dan penerapan matematika pada bidang ilmu pengetahuan lain (application ofmathematics). Namun sejalan dengan pesatnya perkembangan terapan matematika pada bidanglain, yang sebelumnya hanya memerlukan metode matematis, lama kelamaan semakinmemerlukan dasar pendekatan teori matematis. Perkembangan ini menjadikan munculnya bidangkajian baru yang dapat dikategorikan sebagai matematika terapan juga. Dengan demikianmenjadikan semakin tipisnya pembedaan tersebut di atas.Dengan berkembangnya pengetahuan lain maupun penerapan pada masalah sehari-hariyang memerlukan fondasi matematika maupun metode matematisnya, berkembang pula berbagaisubbidang matematika terapan.Dewasa ini yang menjadi topik (subbidang) utama dalam matematika terapan adalahsebagai berikut :(1) Analisis Terapan : teori aproksimasi, teori optimisasi, analisis numerik, sistemdinamik, teori chaos(2) Matematika diskrit : Kombinatorik, teori graf, teori permainan, geometri diskrit,teori komputasi, teori komputabilitas, teori kompleksitas, teori Informasi,kriptografi(3) Probabilitas: Distribusi probabilitas, statistika, proses stokastik(4) Subbidang lain : Riset Operasional, Matematika biologi, Matematika Finansial,Matematika Ekonomi, sains komputer.Berikut ini diberikan gambaran singkat dari beberapa subbidang matematika terapan :
12.1 Teori aproksimasi
Merupakan bidang matematika berhubungan dengan kajian teoritis pemilihan fungsi yangdianggap paling mendekati (terkecil kesalahannya dengan menggunakan ukuran dan kriteriatertentu) suatu fungsi.Konsep dasar teoritisnya adalah deret Fourier rampak (generalized Fourier series),polinomial ortogonal (diantaranya polinomial Chebychev), basis ortonormal.Dalam kajian lanjut aproksimasi dilakukan dengan menggunakan analisis fungsional(ruang fungsi, ruang dimensi takhingga). Kajian ini disebut dengan aproksimasi dalam dimensitakhingga.
12.2 Teori optimisasi
Merupakan bidang matematika yang berhubungan dengan kajian teoritis masalahpencarian nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi (real) yang diberikan, dalam kisarandaerah yang terbentuk oleh sejumlah batasan fungsi-fungsi yang diberikan pula. Secara ekivalenmasalah tersebut merupakan pemilihan nilai real atau integer dalam suatu daerah tertentu yangmerupakan subhimpunan dari himpunan Euclid. Bidang kajian ini sering disebut pula denganpemrograman matematis. Apabila fungsi-fungsi yang dihadapi merupakan fungsi linear makabidang kajian tersebut dinamakan dengan pemrograman linear. Apabila fungi-fungsinyamerupakan fungsi non linear maka bidang kajiannya disebut dengan pemrograman nonlinear.Dalam kajian lanjutnya digunakan pendekatan analisis fungsional (ruang fungsi, dimensitakhingga). Kajian ini disebut dengan optimisasi dalam dimensi takhingga. Kajian lanjut inidigunakan dalam pengendalian optimum, yang biasanya menggunakan kalkulus variasi.Teori optimisasi ini merupakan salah satu dasar matematis dari bidang kajian risetoperasional.
12.3 Sistem dinamik
Konsep sistem dinamik merupakan model matematis dari fenomena gerakan obyek yangbergantung waktu dan keadaan, yang evolusi di dalamnya mengikuti aturan (deterministik)tertentu.Konsep awal kajian berdasarkan kajian masalah pada mekanika Newton (persamaangerakan planet). Dengan mempertimbangkan keadaan awalnya, kajian yang dilakukan antara lainbagaimana perilaku sistem untuk waktu yang lama Kajian dilakukan melalui persamaan lintasantrayektori (orbit) dari gerakannya. Dalam hal ini obyek kajiannya berhubungan dengan konsepstabilitas sistem (stabilitas struktural, stabilitas Lyapunov).Model matematis yang menyajikan suatu sistem dinamik berupa sistem persamaandiferensial (biasa maupun parsial). Dengan mempertimbangkan fenomena gerakan yang dihadapi,sistem dinamik tersebut dapat berupa sistem dinamik linear ataupun non linear. Dalam halpraktisnya model tersebut dibawa ke bentuk sistem persamaan diferensi (sistem diskret), sehinggadapat dikomputasikan dengan pendekatan metode numerik.Kajian lanjut dari sistem dinamik banyak melibatkan fisika teoritis antara lain teoribifurkasi dan teori turbulensi fluida. Pendekatan probabilistik akan membantu kajian sistemdinamik dalam mekanika statistis. Hal ini akan membantu dalam kajian lanjut sistem dinamikyang dikenal dengan fenomena chaos.Bidang pengetahuan lain yang dilibatkan dalam kajian sistem dinamik adalah fisika danbiologi.
12.4 Matematika komputasi
Merupakan cabang matematika yang mengkaji (i) penggunaan matematika dalam teorikomputasi dan (ii) penggunaan alat komputasi untuk membantu pemecahan model matematis(metode numerik).Pendekatan dasar matematika pada kajian (i) terutama matematika diskrit. Sebagai obyekkajian utama adalah mesin abstrak (meliputi automata, mesin Turing) dan bahasa formal,penyandian (coding) dan error correcting code. Kajian ini merupakan bidang dasar utama darisains komputer. Sedangkan pendekatan dasar pada kajian (ii) adalah diskretisasi dari aspekkekontinuan. Dalam hal ini kajian lebih ditekankan pada aspek numeris (analisis numerik) darimetode penyelesaian (metode numerik), termasuk di dalamnya kajian algoritmis. Dalam hal inipertimbangan kompleksitas metode sesuai dengan alat komputasi yang digunakan.
12.5 Riset Operasional
Merupakan cabang interdisiplin matematika terapan dan sains formal (kajian teoritissistem formal, matematika, teori sistem, sains komputer, teori infomasi, dan probabilitas).Pendekatan metode yang menjadi dasar riset operasional antara lain pemrograman matematis(disebut juga optimisasi), probabilitas dan algoritma. Teknik riset operasional digunakan terutamadalam perencanaan dan pengoperasian industri dan bisnis dengan tujuan untuk memaksimumkankeuntungan (atau peluang, manfaat) ataupun meminimumkan kerugian (atau biaya, risiko)sebagai obyektif pemecahan masalah.Berbagai sarana atau metode matematis yng digunakan antara lain optimisasi, teoriprobabilitas-statistika, teori antrean, teori permaainan, analisis jaringan, teori simulasi, analisiskeputusan, manajemen informasi.Dalam bidang manajemen, riset operasional sering digunakan dalam hampir semuatahapan manajemen terutama dalam tahap perencanaan. Oleh karena itu dari tinjauan bidangmanajemen, riset operasional sering disebut sebagai sains manajemen.
12.6 Matematika ekonomi
Penerapan metode matematis dalam kajian teori ekonomi maupun pengembangan analisisekonomi yang memerlukan fondasi matematika. Pengembangan awal bidang ini dilakukan olehPaul Samuelson dalam buku Foundation of Economic Analysis (1947). Kebanyakan kajianekonomi modern disajikan dengan menggunakan pengertian geometri maupun pengertianmatematika elementer (kalkulus dan aljabar matriks), Dengan penggunaan matematika ekonomi(sebagai alat) ini akan mempermudah dalam melakukan analisis ekonomi.Beberapa topik dalam matematika ekonomi pada antara lain teori keseimbangan, teorielastisitas, fungsi utilitas, teori pertumbuhan, optimisasi, teori permainan, ekonometrika, modelekonomi kesejahteraan (welfare economics), persamaan Black-Scholes, dan arbitrase. Keduatopik terakhir juga merupakan topik dalam matematika finansial.
12.7 Matematika finansial
Merupakan cabang matematika terapan yang mengkaji masalah dalam pasar finansial.Kajian ini banyak berhubungan dengan bidang ekonomi finansial. Secara umum dalammatematika finansial dilakukan kajian model matematis (atau numeris) dari masalah dalamekonomi finansial. Dalam kajian klasik, kajian dilakukan hanya terbatas menggunakanpendekatan kalkulus. Dengan pendekatan kalkulus dilakukan penurunan model matematis darimasalah yang berhubungan dengan salah satu unsur finansial (investasi uang), seperti bunga, nilaikini dan nilai masa-datang. Dalam pendekatan modern, kajian yang dilakukan erat hubungannyadengan masalah instrumen finansial dalam pasar saham (stock market). Diantaranya dalampenentuan harga saham, kajian valuasi opsi dan, penentuan harga derivatif (derivative pricing),penentuan nilai kontrak.Sesuai dengan fenomena keacakan yang terjadi pada masalah finansial, kajian yangdilakukan dilakukan dengan pendekatan kalkulus stokastik. Dengan demikian model matematisyang dihadapi biasanya merupakan persamaan diferensial (parsial) stokastik. Salah satu teoremafundamental yang memegang peranan penting adalah Teorema Fundamental arbitrage-freepricing.Oleh karena rumitnya, secara praktis model matematis yang diperoleh biasanya dibawake dalam model komputasi numerikDasar pengetahuan matematika yang banyak diperlukan dalam matematika finansialdiantaranya adalah kalkulus, persamaan diferensial parsial, analisis dan metode numerik, analisisreal, teori probabilitas, teori ukur, kalkulus stokastik
12.8 Matematika Biologi (Biomathematics)
Sering disebut dengan biologi matematis (mathematical biology), pemodelan matematisbiologi (biological mathematical modelling). Bidang interdisiplin yang di dalamnya dikaji prosesbiologis menggunakan teknik matematis. Bidang ini melibatkan kolaborasi beragam bidangpengetahuan lain antara lain matematika, fisika, biologi, kedokteran, dan kimia.Matematika biologi ini sudah lama menjadi bidang kajian (terutama dalam penelitian).Kajian yang dilakukan antara lain: dinamika populasi (model pemangsa-mangsa – persamaanLotka Volterra), epidemiologi matematis (model penyebaran penyakit), model sistem fisiologi.Kajian tersebut melibatkan sistem persamaan diferensial parsial dan proses stokastik.Dengan pesatnya perkembangan biologi molekular, kajian matematis yang dilakukanpunsemakin berkembang, antara lain mekanisme jaringan biologi, enziomolgi, dinamika antar sel.Kajian yang paling mutakhir yang dilakukan berhubungan dengan revolusi genomik. Bidangkajian ini disamping melibatkan metode matematis juga melibatkan teknik komputasi. Denganberagamnya kajian yang dilakukan, kajian ini membentuk bidang khusus yang dikenal dengan bioinformatika

gimana sih, ribet bener ternyata matematika itu, tapi itulah kenyataan, MATEMATIKA punya BANYAK ANAK ^^

0 komentar:

Poskan Komentar